চমক আপু ক্লাসে যেভাবে পড়ান, সেভাবেই ত্রিভুজ সর্বসমতার একটা চমকপ্রদ ব্যতিক্রম এখানে ধাপে ধাপে দেখানো হয়েছে। প্রতিটা ধাপে একটু থেমে নিজে ভাবুন, তারপর পরের ধাপ দেখুন। ভুল উত্তরের কোনো ব্যাপার নেই, এটা শুধু নিজে বোঝার জন্য।
দুইটা বাহু আর একটা কোণ কি সবসময় একটাই ত্রিভুজ ঠিক করে দেয়?
একটা রেসিপি দেওয়া হলো: একটা বাহু ৫ সেমি, তার সাথে ৩০° কোণে আরেকটা বাহু ৩ সেমি (কোণটা এই দুই বাহুর মাঝখানে না, একটার শেষ প্রান্তে)।
এই তথ্য দিয়ে কি ঠিক একটাই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব বলে মনে হয়?
একটু অনুমান করুন -- হ্যাঁ, নাকি একাধিক হতে পারে?
নিচে এই রেসিপি দিয়ে অঙ্কন করে দেখানো হলো। বোতামে চাপ দিয়ে একটা একটা করে দেখুন।
ত্রিভুজ A (ডান দিকের বিন্দু)
BA = ৫ সেমি, ∠B = ৩০°, AC = ৩ সেমি (দেওয়া তথ্য)
BC = ৬.০ সেমি (এবার হিসাব করে পাওয়া)
একই তথ্য (BA=৫ সেমি, ∠B=৩০°, AC=৩ সেমি) থেকে দুইটা সম্পূর্ণ ভিন্ন ত্রিভুজ পাওয়া গেল -- একটাতে BC প্রায় ৬.০ সেমি, আরেকটাতে প্রায় ২.৭ সেমি। কারণ A থেকে কম্পাসের চাপ ভিত্তিরেখার উপর দুইটা আলাদা জায়গায় পড়েছে।
কিন্তু একই সংখ্যা (৫ আর ৩) নিয়ে যদি কোণটা দুই বাহুর মাঝখানে থাকে (SAS), তাহলে কোনো কম্পাসের চাপের দরকারই পড়ে না -- তৃতীয় বিন্দুর দিক আর দূরত্ব দুইটাই আগে থেকে ঠিক হয়ে যায়, তাই মাত্র একটা জায়গায় বসানো যায়। এই পার্থক্যটাই আসল কথা: কোণ বাহু দুইটার মাঝখানে না থাকলেই সমস্যা হয়।
এই কারণেই "দুই বাহু আর একটা কোণ" (SSA) কোনো নির্ভরযোগ্য নিয়ম না। যেগুলো নির্ভরযোগ্য -- বাহু-বাহু-বাহু (SSS), বাহু-কোণ-বাহু (SAS), কোণ-বাহু-কোণ (ASA), আর সমকোণী ত্রিভুজের জন্য অতিভুজ-বাহু (RHS) -- এই প্রতিটাতেই কোণটা এমনভাবে দেওয়া থাকে যে তৃতীয় বিন্দুর জন্য কোনো "কোন দিকে" প্রশ্ন থাকে না।
একটা জায়গায় প্রায় সবাই একবার হলেও ভুল করে বসে: "দুইটা বাহু আর একটা কোণ" শুনেই ভেবে নেওয়া এটা SAS-এর মতোই নিরাপদ -- কোণটা কোথায় আছে (মাঝখানে, নাকি শেষ প্রান্তে) সেটা না দেখেই। নিজে একবার চেষ্টা করে দেখুন।
এই অঙ্কে আটকে গেলে সাহায্য পাবেন।
যদি একটা ত্রিভুজের তিনটা বাহুর দৈর্ঘ্যই (SSS) দেওয়া থাকে, তাহলে কয়টা ভিন্ন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
এবার কোনো ছবি ছাড়াই, শুধু নাম দেখে বলুন।
একটু ভাবতে হবে।
কোনো ছবি ছাড়াই বলুন: SSS, SAS, ASA, আর SSA -- এই চারটার মধ্যে কোনটাতে দুইটা ভিন্ন ত্রিভুজ হতে পারে?
RHS (অতিভুজ-বাহু) নিয়মটাও এই একই কারণে নির্ভরযোগ্য: সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ আর একটা বাহু জানা থাকলে, তৃতীয় বিন্দুর অবস্থান নিয়ে কোনো দ্বিধা থাকে না। এই SSS আর RHS-এর ধারণাগুলোই পরে বৃত্তের একটা প্রমাণে সরাসরি কাজে লাগবে।
সংক্ষেপে: দুইটা বাহু আর একটা কোণ (SSA) সবসময় একটাই ত্রিভুজ ঠিক করে দেয় না -- কারণ কোণটা বাহু দুইটার মাঝখানে না থাকায়, তৃতীয় বিন্দু কম্পাসের চাপে দুই জায়গায় পড়তে পারে। SSS, SAS, ASA, RHS -- এই চারটাতে এই সমস্যা হয় না।