চমক আপু ক্লাসে যেভাবে পড়ান, সেভাবেই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর টানা লম্বের বৈশিষ্ট্য এখানে ধাপে ধাপে দেখানো হয়েছে। প্রতিটা ধাপে একটু থেমে নিজে ভাবুন, তারপর পরের ধাপ দেখুন। ভুল উত্তরের কোনো ব্যাপার নেই, এটা শুধু নিজে বোঝার জন্য।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর লম্ব: কেন মাঝখানে পড়ে
মনে করি, একটা বৃত্তের কেন্দ্র O, আর একটা জ্যা AB আছে (জ্যা মানে বৃত্তের উপর দুইটা বিন্দুকে যোগ করা রেখাংশ, যা ব্যাস না-ও হতে পারে)।
যদি কেন্দ্র থেকে এই জ্যার উপর একটা লম্ব রেখা টানা হয়, সেটা কি ঠিক জ্যার মাঝখানে গিয়ে পড়বে, নাকি অন্য কোথাও?
চলুন, কয়েকটা ভিন্ন জ্যা নিয়ে নিজে পরীক্ষা করে দেখি।
নিচে তিনটা ভিন্ন জ্যা দেওয়া আছে। বোতামে চাপ দিয়ে একটা একটা করে দেখুন -- প্রতিবার লম্বটা কোথায় গিয়ে পড়ছে।
একটা ছোট জ্যা -- AM = MB ✓
তিনটা সম্পূর্ণ ভিন্ন জ্যাতেই লম্বটা ঠিক মাঝখানে গিয়ে পড়েছে। এটা কাকতালীয় না -- প্রতিটা জ্যার জন্যই এটা সত্যি।
নিচে ধাপে ধাপে দেখুন, কেন এটা সবসময় সত্যি।
ধাপ 1: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটা বৃত্তে AB একটা জ্যা। O থেকে AB-এর উপর একটা লম্ব OM টানা হলো (M বিন্দুতে AB-কে স্পর্শ করে)।
△OMA ও △OMB -এ: OA=OB (দুইটাই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), OM উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু, আর ∠OMA=∠OMB=৯০° (দেওয়া আছে)। সুতরাং লম্ব-অতিভুজ-বাহু (RHS) উপপাদ্য অনুযায়ী △OMA≅△OMB। তাই AM=MB -- অর্থাৎ M ঠিক AB-এর মধ্যবিন্দু।
এটাই উপপাদ্য: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব, জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এই একই ছবি থেকে একটা সমকোণী ত্রিভুজও পাওয়া যায় -- △OMA। এর বাহুগুলো: ব্যাসার্ধ (অতিভুজ), অর্ধেক জ্যা, আর কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব। এই তিনটার মধ্যে সম্পর্ক বের করতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য কাজে লাগে -- ঠিক যেভাবে আগের একটা লেসনে দেখানো হয়েছিল।
একটা জায়গায় প্রায় সবাই একবার হলেও ভুল করে বসে: অর্ধেক জ্যা বের করার পরেই থেমে যাওয়া, সেটাকেই সম্পূর্ণ জ্যা ধরে ফেলা। নিজে একবার চেষ্টা করে দেখুন।
এই অঙ্কে আটকে গেলে সাহায্য পাবেন।
একটা বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০ সেমি। কেন্দ্র থেকে একটা জ্যার দূরত্ব ৬ সেমি। জ্যাটার সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত সেমি?
এবার নতুন দুইটা বৃত্ত দিয়ে, একদম নিজে করে দেখুন।
প্রথমটা।
একটা বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৫ সেমি, কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব ৭ সেমি। জ্যাটার সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত সেমি?
দ্বিতীয়টা।
একটা বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব ১২ সেমি। জ্যাটার সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত সেমি?
সংক্ষেপে: কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর টানা লম্ব সবসময় জ্যাকে দুই সমান ভাগে ভাগ করে -- আর এই একই ছবি থেকে ব্যাসার্ধ, অর্ধেক জ্যা আর কেন্দ্রের দূরত্বের মধ্যে পিথাগোরাসের সম্পর্কও পাওয়া যায়।