চমক আপু ক্লাসে যেভাবে পড়ান, সেভাবেই চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি এখানে ধাপে ধাপে দেখানো হয়েছে। প্রতিটা ধাপে একটু থেমে নিজে ভাবুন, তারপর পরের ধাপ দেখুন। ভুল উত্তরের কোনো ব্যাপার নেই, এটা শুধু নিজে বোঝার জন্য।
চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি সবসময় ৩৬০°
যেকোনো চতুর্ভুজের (চার বাহুবিশিষ্ট আকৃতির) চারটা কোণ আছে। এই চারটা কোণ একসাথে যোগ করলে কত হয়?
একটা ত্রিভুজের তিনটা কোণের সমষ্টি ১৮০° -- এটা আগেই জানা আছে। একটা চতুর্ভুজকে যদি দুইটা ত্রিভুজে ভাগ করা যায়, তাহলে এর কোণের সমষ্টি কত হতে পারে বলে মনে হয়?
চলুন, একটা কর্ণ টেনে দেখি।
নিচে ধাপে ধাপে দেখুন, একটা কর্ণ কীভাবে চতুর্ভুজকে দুইটা ত্রিভুজে ভাগ করে।
ধাপ 1: যেকোনো একটা চতুর্ভুজ ABCD নেওয়া যাক।
△ABC এর কোণের সমষ্টি ১৮০°, আর △ACD এর কোণের সমষ্টিও ১৮০°। এই দুইটা ত্রিভুজ মিলেই আসল চতুর্ভুজ ABCD, তাই এর মোট কোণ = ১৮০°+১৮০° = ৩৬০°। এটা যেকোনো চতুর্ভুজের জন্যই সত্যি।
কিন্তু একটা প্রচলিত ভুল ধারণা আছে: "বিপরীত কোণের যোগফল ১৮০°" -- এই নিয়মটা কি সব চতুর্ভুজের জন্য সত্যি? নিচে তিনটা ভিন্ন চতুর্ভুজ দেখুন, বোতামে চাপ দিয়ে।
∠A+∠B+∠C+∠D = ৭০°+১৩০°+৬০°+১০০° = ৩৬০° ✓
∠A+∠C = ১৩০° (১৮০° না)
∠B+∠D = ২৩০° (১৮০° না)
এই চতুর্ভুজটা বৃত্তে অন্তর্লিখিত (cyclic) না।
তিনটা চতুর্ভুজেই কোণের সমষ্টি ৩৬০° -- এটা সবসময় সত্যি। কিন্তু "বিপরীত কোণ ১৮০°" শুধু দুইটাতে মিলেছে, একটাতে মেলেনি। "বিপরীত কোণ ১৮০°" নিয়মটা শুধু বৃত্তে অন্তর্লিখিত (cyclic) চতুর্ভুজের জন্য সত্যি -- সব চতুর্ভুজের জন্য না।
তাই একটা সাধারণ (cyclic না) চতুর্ভুজে "বিপরীত কোণ ১৮০°" ধরে নেওয়াটাই সবচেয়ে বেশি হওয়া ভুল। এমন ক্ষেত্রে সবসময় সত্যি নিয়মটা ব্যবহার করতে হয়: মোট সমষ্টি ৩৬০°। নিজে একবার চেষ্টা করে দেখুন।
এই অঙ্কে আটকে গেলে সাহায্য পাবেন।
একটি সাধারণ চতুর্ভুজ PQRS-এ (বৃত্তে অন্তর্লিখিত নয়) কোণ P=৮০°, কোণ Q=৭৫°, কোণ R=৯৫°। কোণ S কত হবে?
এবার নতুন দুইটা চতুর্ভুজ দিয়ে, একদম নিজে করে দেখুন।
প্রথমটা -- এবার চতুর্ভুজটা সত্যিই cyclic।
একটি চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত (cyclic)। কোণ A=৬৫° হলে, কোণ C কত হবে?
দ্বিতীয়টা।
একটি সাধারণ চতুর্ভুজ WXYZ-এ (বৃত্তে অন্তর্লিখিত নয়) কোণ W=৯০°, কোণ X=৬০°, কোণ Y=১০০°। কোণ Z কত হবে?
সংক্ষেপে: যেকোনো চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি সবসময় ৩৬০°। কিন্তু "বিপরীত কোণ ১৮০°" শুধু cyclic চতুর্ভুজের জন্য সত্যি -- প্রশ্নে সেটা বলা না থাকলে, সবসময়ের নিয়ম ৩৬০° ব্যবহার করাই নিরাপদ।