পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ -- নিজে চোখে দেখুন

একটা সমকোণী ত্রিভুজের তিনটা বাহুর উপর তিনটা বর্গ আঁকা হলো -- প্রতিটা বাহুর উপর একটা করে। ছোট দুইটা বর্গের ক্ষেত্রফল যোগ করলে কি বড় বর্গটার ক্ষেত্রফলের সমান হবে? আপনার কী মনে হয়?

এই প্রশ্নের উত্তরই পিথাগোরাসের উপপাদ্য। শুধু সূত্র মুখস্থ না করে, এটা কেন সত্যি, সেটা চোখে দেখে বোঝা যাক।

মনে করি, একটা সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ-সংলগ্ন দুই বাহু a ও b, আর অতিভুজ c। এখন এই একই মাপের চারটা ত্রিভুজ নিয়ে, একটা (a+b) মাপের বড় বর্গের ভিতরে বসানো যাক।

নিচের ছবিতে ঠিক এই চারটা ত্রিভুজ, একই বড় বর্গের ভিতরে দুইভাবে সাজানো হয়েছে। বোতামে চাপ দিয়ে দুইটা সাজানোই দেখুন -- ত্রিভুজগুলো একই থাকছে, শুধু জায়গা পাল্টাচ্ছে।

লক্ষ করুন: দুইটা সাজানোতেই বড় বর্গটা ঠিক একই মাপের, আর চারটা ত্রিভুজও ঠিক একই চারটা। তাহলে যা বাকি থেকে যায়, তার মোট ক্ষেত্রফলও দুই সাজানোতে সমান হতেই হবে। প্রথম সাজানোতে বাকি থাকে একটা হেলানো বর্গ, ক্ষেত্রফল c²। দ্বিতীয় সাজানোতে বাকি থাকে দুইটা সোজা বর্গ, ক্ষেত্রফল a² ও b²। দুইটাই যেহেতু একই জিনিসের অবশিষ্ট অংশ, তাই এরা সমান হতে বাধ্য।

এটাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য: c² = a² + b² । ৩-৪-৫ দিয়ে যাচাই করে দেখা যাক -- a=৩, b=৪ হলে a²+b² = ৯+১৬ = ২৫, আর c=৫ হলে c² = ২৫। মিলে গেল।

একটা জায়গায় প্রায় সবাই একবার হলেও ভুল করে বসে: c² বের করার পরেই থেমে যাওয়া, শেষ ধাপটা ভুলে যাওয়া -- বর্গমূল নেওয়া। c²=১০০ পেলে উত্তর ১০০ না, উত্তর হলো ১০০-এর বর্গমূল, অর্থাৎ ১০। নিজে একবার চেষ্টা করে দেখুন।

এই অঙ্কে আটকে গেলে সাহায্য পাবেন।

এবার নতুন দুইটা সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে, একদম নিজে করে দেখুন।

প্রথমটা।

দ্বিতীয়টা।

এই প্রমাণটা চমক আপুর ক্লাসে যেভাবে অংক পড়ানো হয়, তারই একটা ছোট নমুনা -- নিজে ভাবা, নিজে চোখে দেখা, তারপর নিজে প্রয়োগ করা।