আগে আমরা ১, ৩, ৬, ১০ প্যাটার্নটা দেখেছি। এই সংখ্যাগুলো আসলে ত্রিভুজ আকারে সাজানো বিন্দুর মতো, প্রতিবার এক সারি করে বাড়ছে। এখন চমক আপু ক্লাসে এই ধরনের অংক যেভাবে শুরু করেন, সেভাবে দেখা যাক।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত হতে পারে, একবার আন্দাজ করুন।
ধরি, ক = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০
এই একই যোগফলটা যদি উল্টো দিক থেকে লেখা হয়, তাহলে কেমন দেখাবে বলে মনে হয়?
ক = ১০ + ৯ + ৮ + ৭ + ৬ + ৫ + ৪ + ৩ + ২ + ১
এবার এই দুইটা সারি একসাথে, কলাম ধরে ধরে যোগ করলে কী হবে বলে মনে হয়?
প্রতিটা কলাম যোগ করলে: ১+১০ = ১১, ২+৯ = ১১, ৩+৮ = ১১, ... প্রতিটা জোড়ার যোগফল সমান, ১১। নিচের ছবিতে দুইটা সারি পাশাপাশি দেখা যাচ্ছে, যেকোনো কলামে চাপ দিয়ে দেখুন।
যেকোনো একটা কলামে চাপ দিন
নিচের সারির যোগফল কি উপরের সারির চেয়ে আলাদা হবে, নাকি একই থাকবে?
একই থাকবে, দুইটা সারিরই যোগফল ক। কারণ নিচের সারিতে একই ১০টা সংখ্যা আছে, শুধু উল্টো ক্রমে সাজানো, তাই যোগফল বদলায় না।
দুইটা সারি একসাথে যোগ করলে মোট কত হবে বলে মনে হয়?
দুইটা সারি একসাথে করলে: ক + ক = ২ক।
মোট ১০টা কলাম আছে, প্রতিটার যোগফল ১১। তাহলে ২ক = ১০ × ১১ = ১১০
সুতরাং ক = ১১০ ÷ ২ = ৫৫। অর্থাৎ ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যোগফল ৫৫।
১ থেকে ১০ এর বদলে ১ থেকে n পর্যন্ত হলে, একই নিয়মে কী হবে বলে মনে হয়?
এখানে আমরা মোট ১০টা সংখ্যা যোগ করেছিলাম। এই ১০-এর জায়গায় এখন থেকে আমরা n লিখব। n মানে হলো, যত সংখ্যাই যোগ করি না কেন, ১০টা, ৫টা, বা ১০০টা, সব ক্ষেত্রে একই নিয়ম খাটে।
প্রতিটা জোড়ার যোগফল ছিল ১১, যা এসেছিল প্রথম সংখ্যা (১) আর শেষ সংখ্যা (n, অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে ১০) যোগ করে। সাধারণভাবে এই যোগফল হবে (১ + n), অর্থাৎ (n+1)।
তাই ২ক = (মোট column সংখ্যা) × (প্রতি column-এর যোগফল) = n × (n+1) = n(n+1)। সুতরাং ক = n(n+1)/2। এটাই ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র।
এভাবেই ১ থেকে যেকোনো সংখ্যা পর্যন্ত ক্রমিক যোগফল বের করা যায়, একটাই নিয়মে।
সূত্র প্রয়োগের ধারণাটা বুঝেছেন। এখন সরাসরি একটা সমস্যা সমাধান করে দেখুন।
এই অঙ্কে আটকে গেলে সাহায্য পাবেন।
এবার কয়েকটা অঙ্ক একদম নিজে করে দেখুন, কোনো সাহায্য ছাড়াই।
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত হবে বলে মনে হয়? একই পদ্ধতিতে নিজে একবার চেষ্টা করুন।
একই নিয়মে: এখানে n = ১৫। যোগফল = ১৫ × ১৬ ÷ ২ = ১২০। উত্তর মিলুক বা না মিলুক, নিজে চেষ্টা করাটাই আসল কথা।
১ থেকে ২৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত হবে বলে মনে হয়?
এখানে n = ২৫। যোগফল = ২৫ × ২৬ ÷ ২ = ৩২৫।
১ থেকে ৪০ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত হবে বলে মনে হয়?
এখানে n = ৪০। যোগফল = ৪০ × ৪১ ÷ ২ = ৮২০।